《人数怎样数》

  课前交流：

先请同学们欣赏一段视频，这是2008年北京奥运会开幕式上精彩的一幕，感觉怎么样?(震撼、隆重)，是的，因为我们有一个强大的祖国而无比自豪。

光点变换成各种美丽的图案。用数学的眼光来看你看到了什么？这些点就这样一会横着排，一会竖着排，一会斜着排，有时候还折着排。排成方阵时虽然图案在不断变换，但有什么是不变的呢？（总人数不变）确实，因为我们观察角度不同，往往会有不同的发现。

这节课我们就来研究从不同角度观察，人数怎样数的问题。（揭题）

准备好了吗？上课

一、新授

（一）正方形点阵

1、横看

【1】看，如果我们把每个人看作一个点的话，数学上像这样由许多点按一定顺序排列起来就是数学中的点阵。

这个点阵几个点？（贴图1）第二个点阵几个点？（贴图2）第三点阵可能几个点？（标上序号）

【2】想象一下第4个点阵会有几个点？

【3】有人已经发现其中的奥秘了？（边长乘边长，这些都是平方数，第几个点阵））

如果用算式来表示这组图的总点数，可以怎么表示？

PPT1【4】4乘4是怎么看的？（横着看，PPT）（应该有4行，每行4个小圆点，一共16个小圆点。《两人说》，伸出手笔画一下。

【5】第五个点阵圆点数是多少呢？（5×5=25）第六个点阵圆点数呢？谁能接着说下去？……第8个、100个？（板书：N×N=N² ）谁能用一句话概括？ ?你能用简洁的字母来表示，真不错，简约而不简单。谁再来说一说。

（板书：第N个图形圆点数就应该是N×N=N² ）

2、斜看

【1】真正的数学家往往有着与常人不一样的思维，刚才我们观察是横着看，还可以从怎样的角度去观察这组点阵呢？（竖、斜、折）竖着看还要研究吗？为什么？又可以得到什么算式呢？想不想自己试一试

PPT【2】读活动要求：

追问：同一种线是什么意思？如果这里是斜线，后面的都要是斜线。注意要写上对应的算式PPT音乐 

切换实物

【3】展示：生：我斜着分的，1=1 ，4=1+2+1，  9=1+2+3+2+1 ，16=1+2+3+4+3+2+1 ，我们发现第二个图形就是从1加到2再加回来，结果是2的平方等于4，第三个图形就是从1加到3再加回来，结果是3的平方等于9，第五个图形就是从1加到5再加回来，结果是5的平方等于25。1+2+3+……N+……3+2+1=N的平方。

【4】这种划分方法有新意！仔细观察是不是这样的？你们发现了什么？??

?这个算式的两边是对称的，相乘的两个数就是中间的平方???。

 生1算式里最大的是几就是几的平方?

生2：第几个图形就是从1加到几再加回来，结果是几的平方数。?

PPT一起看一下【5】照这样，第六个正方形点阵的点数用算式如何表示？第9个呢？第n个呢？?

【6】谁再来说一说这个发现？（板书第几个方阵就是从1加到几再加到1）

追问，结果等于？

3、拐弯看

PPT切换实物【1】还有同学有这样的分法，请你介绍一下

生汇报：第一幅图是1=1，第二幅图可用算式1+3 ==2² =4 表示， 第三幅图可用1+3+5=3²= 9 ，第四幅图就是1+3+5+7 =4²=16，

【2】的确，我们还可以从一角向外扩展来看，结合图形观察这些等式有什么发现？有点难是不是，大家讨论一下？

（都是奇数）?还有什么相同点？（开头为1）是任意奇数吗？都是连续的奇数在相加。

什么样的奇数？

【3】它们有什么不同点呢？（奇数的个数不同）奇数的个数与什么有关？

观察的真仔细。

引导：第二个点阵一层2层，几个奇数？第三个点阵1层2层3层，几个奇数？第8个点阵算式？ 有几个奇数？第N个点阵呢？

实物切换PPT看大屏幕是不是这样？

小结：第几个点阵就是从1开始的几个连续奇数相加。《2人说》

【4】再看他们的结果呢？我们发现左边有两个奇数，和就是2的平方，有3个连续奇数，和就是3的平方……

【5】第N个点阵有几个奇数？

【6】大家又发现了从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方。谁再说一下。

4、对比建立联系

【1】通过研究我们发现对于同一组图不同的角度观察能找到不同的规律。以5乘5的正方形为例，可以横看5×5=25，斜看1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 ， 折着看1+3+5+7+9=25。它们的结果都一样。但是无论从什么角度观察，什么不变？哪个最简单？计算时我们可以互相转化，使计算简便。

5、由数到形

练习：根据图形你知道算式怎么写，那么根据算式你知道是什么样的点阵吗？

【1】6×6，这是第几个点阵，从什么角度观察的？

【2】1+2+3+……+7+……+2+1等于多少？你怎么算的这么快？（真棒，你已经会相互转化了）

这是第几个点阵，从什么角度观察的？我们一起看一下，同学们可以伸出手比划一下。结果？

【3】1＋3+5+7+9+11+13+15+17=你怎么算的这么快？这是第几个点阵，从什么角度观察的？一起看PPT

（从1开始有9个连续奇数，所以和就是9的平方，等于81）。

6、回顾方法和拓展

【1】回顾这一过程我们怎么开展研究的？首先通过人数方阵图观察，从不同角度看图，列举一一列式，然后找到用同样的方法（分析）点子数的数学式子?。用含文字或字母的数学式子表达点阵的规律。也就是（概括）最后还可以把结果（运用）到计算中。（板书）

【2】你知道吗？我们的这种研究和想法正和古代数学家的不谋而合了。

其实早在2000多年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯就认为：数，不但有量的多少，而且也具有几何形状。他用小石子排列成正方形，借助正方形研究出了正方形数的排列规律。根据同样的道理，古老的数学家们还找到了三角形数、五边形数……很容易就找到了这些数的特点和规律，并推导出了许多重要的计算公式。他们还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。这种把数和形结合起来解决问题是一种特别重要的数学思想方法。

【4】揭示：看来数与形是可以相互转化的，这就是数形结合

数学活动二、三角形数

【1】 运动会开幕式上同学们的队形又变化了，先1个人，接着2个人，然后3个人、4个人、5个人……这个队伍一共有多少人？

算式怎么列？1+2+3+4+5+……

如果继续排下去，一共有多少人？是不是有点困难？我们能不能借助刚才学的 点阵图表示？

你准备怎么研究？（从简单的开始研究，先画1，再画1+2，1+2+3，）

很不错的思路，数学就是要从简单开始想起。

【2】活动要求：学生活动

【3】看来有了刚才研究正方形点阵的学习经验，大家都很得心应手了，观察这些图形画的都正确吗？说说你的想法。

展示横的。我是横着画的，1只有一层时， 1+2 两层， 1+2+3三层四层就这样的三角形点阵从上往下摆，每层依次增加1个，就是从1开始连续自然数的和。

你是怎么分的，你呢？对比横着斜着竖着，分的算式都是相同的。

角度不同总点数会改变吗？都是从1开始有几层就加到几。

【4】算式写起来很简单，这样的算式结果会计算吗？以1+2……+6为例，把你的计算过程写下来，有困难的可以借助图形先思考再计算。

（学生计算）

【5】交流

预设1：配对求和（借助图形思考）

教师：回过头看咱们低年级计算时通常把和相等的数一组一组相加，结合图形看，这也是在拼成平行四边形的过程。平行四边形底是7，高是多少？？

预设2:等差数列求和公式，联想原来学过的梯形公式。（看图理解）

【追问】你知道为什么可以用梯形面积公式来解决吗？

生：如果再有一堆这样的钢管可以倒过来放，就可以拼成一个平行四边形。这样每层的根数就一样多，也就是1+6=7，有这样6层，7*6=42算出的是两堆的数量，所以再除以2就可以。

听了他的解释你觉得怎么样？看来梯形面积公式的推导过程同学理解非常深刻。这样你是不是对这样的计算方法有了更深刻的理解呢？

【预设】3：我想用今天学的知识解决，有点像正方形点阵中斜着数的，100*100少算了100，可以先加上100再除以2.

看来同学们已经学会相互转化了，因为看问题角度不同，同学们发现了又一种不同的方法。

那如果是1+2+3+……100，你准备怎样计算最简单？

拓展活动三：长方形点阵

交流:如果把两个相同的三角形点阵合并到一起，就变成了这样的长方形点阵，如果第一幅图是1乘2，第二幅图是2乘3，第三幅图……第五幅图是5乘6。这是从哪个角度观察的？

师：第六个点阵？第N个图形有多少个点？

生：六个点阵6×7共42个点。

生：第N个 点阵圆点数N×（N+1）

师：那你能用刚才的研究方法发现这些点阵的其他规律吗？

学生活动后交流

生：还可以斜着看，第一个图1+1 =1×2=2，第二个图1 +2 +2+ 1=2×3=6，……

师：你有什么发现？跟正方形斜着分有什么不同？

生：1加到5再从5加到1结果就等于5乘6等于30,1加到10再从10加到1结果就等于10乘11等于110, 1加到N再从N加到1结果就等于N乘N+1.

生：我还有不同的分法，从一角往外扩展看，第一个图是,2=1×2=2， 2+4=6，就是2乘3的积，2+4+6=12，就是3乘4的积，2+4+6+8就是4乘5的积

师：这些算式有什么共同点和不同点？都是什么数？什么样的偶数?有什么规律？

生：都是从2开始的连续偶数

生：第几个点阵就是几个从2开始的偶数相加的和。结果等于N乘（N+1）

师：2+4+6+……+98等于多少？

生：从2到98有49个偶数，所以结果等于49乘50等于2450.

  三  回顾总结

【1】这节课你有什么收获？数形结合我们在哪里还用到过？

 【2】其实，数形结合的方法解决问题我们一直在用，同学们请看，小棒图可以帮助我们理解计算方法，小数的意义借助尺子上的刻度，“分数乘分数”中，用画图的方法我们理解了算式的意义。图形还可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。还有四年级找一一间隔的物体排列的规律等……看来，我们几乎在学习每一部分知识的时候，都用到了数形结合的思想方法。

正如我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.

【3】数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切。在一定条件下，数和形之间可以相互转化，希望同学们再以后经常能数形结合解决一些实际问题。有兴趣的还可以设计更多的这样的点阵问题并能探索发现其中的数学规律。

四、延申拓展

最后留两道题给大家课后挑战一下

【1】3+5+7+9+11+13+15+17＋19=，这道题等于几？（请错的人先说）

不是从一开始，算上1，有10个连续奇数，所以和就是10的平方，等于100，但是还要减去1，所以结果时99。

【2】1+3+5+7+9+……＋99=，这道题关键确定奇数的个数，1到100共100个数，每组有一个奇数，一个偶数，100个数是50组，所以奇数50个，结果是50的平方，等于2500.